Schülerschreck

Aus dem Leben einer Grundschullehrerin

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Teilbarkeitsregeln für das Teilen durch 3, 6 und 9

Posted by Steffi on 7th Juni and posted in Allgemein

Um die Teilbarkeit durch 3, 6 und 9 zu erkennen, muss die Quersumme einer Zahl betrachtet werden. (Bei 6 kommt zusätzlich noch die Endstellenregel der Teilbarkeit durch 2 hinzu.)

Quersummenregeln
Die Quersumme ist die Zahl, die gebildet wird, wenn man alle Ziffern einer Zahl zusammenzählt. Die Quersumme von 1086 ist demnach 15.
Während die Herleitung der Endstellenregeln in der Grundschule bei starken Schülern bzw. starken Klassen durchaus thematisiert werden kann, ist die Erklärung der Quersummenregel zu umfangreich. Die Schüler sollen die Teilbarkeitsregeln lediglich situationsgerecht anwenden.

Teilbarkeit durch 3:
Eine Zahl ist dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 9:
Eine Zahl ist dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Herleitung durch die Stellenwerttafel:
Zieht man die Quersumme einer Zahl, dann schiebt man jede Ziffer aus ihrem angestammten Stellenwert in das Feld der Einer. Ein Zehntausender ist danach 9.999 weniger wert als zuvor, ein Tausender 999 weniger, ein Hunderter 99 und ein Zehner 9 weniger. All das, was die Zahlen nun weniger wert sind, ist durch 9 teilbar und demnach auch durch 3. Ist nun die Quersumme, also diese verschobenen Einer, durch 3 bzw. 9 teilbar, dann ist es auch die Ursprungszahl.

Im Grund genommen entspricht das einer Zerlegung der Zahl.
T H Z E
4 2 1 2

Nimmt man die Quersumme der Zahl 4212, so macht man aus 4 Tausendern 4 Einer. Jeder Tausender ist nun also 999 weniger wert als zuvor.
4000 = 4 * 999 + 4 . Selbes mit den Hundertern (2 * 99 + 2) und
Zehnern (1 * 9 + 1). Die zwei Einer bleiben Einer.
Zusammen hat man dann (4 * 999 + 4) + (2 * 99 + 2) + (1 * 9 + 1) + 2 = 4212.
Entsprechend der anfangs genannten Regeln kann man diese Zerlegung umformulieren in:
4 * 999 + 2 * 99 + 1 * 9 + 4 + 2 + 1 + 2 = 4212
Nun kann man sich bezüglich der Teilbarkeit die einzelnen Bestandteile genauer betrachten.
999, 99 und 9 sind immer durch 9 teilbar, egal wie oft sie vorkommen. Dadurch ist der erste Teil unserer Gleichung ebenfalls immer durch 9 teilbar.
Jetzt kommt es nur noch auf die Summe der Einer, also auf die Quersumme an. 4+2+1+2 = 9 -> Die Quersumme ist ebenfalls durch 9 teilbar. Das besagt, dass die gesamte Zahl durch 9 teilbar ist.

Die Teilbarkeit durch 3 ergibt sich aus dieser Regel, da 999 & Co auch immer durch 3 teilbar sind.

Teilbarkeit durch 6:
Eine Zahl ist immer dann durch 6 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade oder eine Null ist und die Quersumme durch 3 teilbar ist.
Hier müssen demnach die Teilbarkeitsregeln für das Teilen durch 2 und das Teilen durch 3 gleichzeitig zutreffen.

Unterrichtsstunde zur Teilbarkeit durch 3, 6 und 9: Teilbarkeitsregeln 3-6-9

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